‘ലോഗരിതം ടേബിളിന്റെ കാലൊടിഞ്ഞാൽ…’

ഡോ. സുരേഷ് സി പിള്ള

(ടീച്ചർ പറയാൻ മറന്നതും; കുട്ടി ചോദിക്കാൻ ഭയന്നതും).

“മാഷേ, അച്ഛൻ ഇന്നലെ അച്ഛന്റെ സ്കൂൾ കാലത്തെ ഒരു കഥ പറഞ്ഞു.”

“കഥയോ? എങ്കിൽ പറയൂ, കേൾക്കട്ടെ, കല്യാണി?”

“അച്ഛന്റെ സുഹൃത്ത്, പരമേശ്വരൻ ചേട്ടൻ, ചെറുപ്പത്തി വീട്ടിൽ നിന്നും ഐസ് മുട്ടായി വാങ്ങാനായി സ്ഥിരമായി പൈസ വാങ്ങുമായിരുന്നു”

“ആഹാ, ഞാനും ചെറുപ്പത്തിൽ കുറെ ഐസ് മുട്ടായി തിന്നിട്ടുണ്ട്, എന്നിട്ട്? ബാക്കി പറയൂ”.

“പരമേശ്വരൻ ചേട്ടൻ ഓരോ ദിവസവും ഓരോ കാര്യങ്ങൾ പറഞ്ഞാണ്, പൈസ വാങ്ങിക്കൊണ്ടിരുന്നത്”.

“ഒരു ദിവസം സ്റ്റാമ്പ് വാങ്ങാൻ………, അടുത്ത ദിവസം സേവന വാരം………………….. വേറൊരു ദിവസം സ്കൂളിൽ കിണറു കുഴിക്കാൻ……………… അങ്ങിനെ പൈസ വാങ്ങിക്കൊണ്ടിരുന്നു…………….”

“അങ്ങിനെ ചോദിച്ചു, ചോദിച്ചു…………… അവസാനം ഒരു ദിവസം ചോദിക്കാനായി കാരണം ഒന്നും കിട്ടി ഇല്ല.”

“എന്തായാലും പൈസ വേണം താനും. അധികം വിദ്യഭ്യാസം ഒന്നുമില്ലാത്ത അദ്ദേഹത്തിന്റെ അച്ഛന്റെ അടുത്തു ചെന്ന് പരമേശ്വരൻ ചേട്ടൻ പറഞ്ഞു………”
“അച്ഛാ…. ഇന്ന് രണ്ടു രൂപാ വേണം?”

“എന്തിനാടാ….”?

“അത്… അച്ഛാ… ഇന്നലെ….. സ്കൂളിലെ… ലോഗരിതം ടേബിളിന്റെ കാലൊടിഞ്ഞു, നന്നാക്കാൻ പൈസയും കൊണ്ട് ചെല്ലണം എന്ന് സാർ പറഞ്ഞു.”

“അങ്ങിനെ ആ രണ്ടു രൂപയിൽ നിന്ന് അച്ഛനും കിട്ടി ഒരു ഐസ് മുട്ടായി.”

“ഹ…ഹ..ഹ… കൊള്ളാമല്ലോ, നിന്റെ അച്ഛന്റെ സുഹൃത്ത്”.

“അതിരിക്കട്ടെ കല്യാണി, നിനക്ക് ലോഗരിതം എന്നാൽ എന്താണെന്ന് അറിയുമോ?”

“അറിയാമല്ലോ മാഷെ, “logarithm of a function is the exponent to which another fixed number, the base, must be raised to produce that function”. എനിക്ക് ഇതിലെ നിയമങ്ങൾ എല്ലാം കാണാപ്പാഠമാണ്.”

“നീ മിടുക്കിയാണല്ലോ? ഉത്തരം ശരിയാണ്”

“ഉത്തരമൊക്കെ, ശരി ആയിരിക്കാം മാഷേ, എന്നാലും, എന്താണ് ശരിക്കും ‘ലോഗരിതം’ എന്ന് എനിക്ക് പിടികിട്ടിയിട്ടില്ല”.

“എന്നാൽ നമുക്കതൊന്ന് ലളിതമായി പഠിച്ചു കളയാം.”

“നീ ക്ലാസ്സിൽ പോയി നോട്ട് ബുക്കിൽ നിന്നും ഒരു പേപ്പർ കീറി ക്കൊണ്ടു വരൂ.”

“ഇതാ മാഷേ പേപ്പർ”

“നീ ഇത് സമചതുരം (square) ആക്കിയിട്ട്, ബാക്കി ഭാഗം കീറിക്കളയൂ.”

“ദാ, മാഷെ ഇപ്പോൾ ഇത്, സമചതുരം (square) ആണ്”.

“ഇനിയിത് കോണോട്, കോണ് ആയിട്ട് മടക്കുക.”

“ഇപ്പോൾ ഒരു പ്രാവശ്യം മടക്കിയപ്പോൾ, ഒരേ അളവിലുള്ള രണ്ടു ത്രികോണങ്ങൾ (Triangle) ഉണ്ടായില്ലേ?”

“ഇനി, ഇതിനെ തുല്യമായി ഒന്നു കൂടി, മടക്കുക”.

“കല്യാണി, നോക്കൂ, ഇപ്പോൾ നാലു തുല്യമായ ത്രികോണങ്ങൾ (Triangles) ഉണ്ടായില്ലേ?”

“ഇനി ഇതിനെ ഒരു പ്രാവശ്യം കൂടി മടക്കിയിട്ട്, തുല്യമായ എത്ര ത്രികോണകൾ ഉണ്ടായി എന്ന് പറയൂ?”

“മാഷെ, എട്ട് തുല്യ ത്രികോണങ്ങൾ”

“അതായത്, മൂന്നു പ്രാവശ്യം പേപ്പർ തുല്യമായി
കോണോട്, കോണ് മടക്കിയപ്പോൾ ല്യമായ എട്ട് ത്രികോണകൾ (Triangles) ഉണ്ടായി?

“എന്ന് പറഞ്ഞാൽ 2 x 2 x 2= 8 അല്ലെങ്കിൽ 2 (raised) 3= 8 എന്ന് പറയാം”

“ഇതിൽ 2 നെ നമ്മൾ base എന്നും 3 നെ exponent എന്നും വിളിക്കും.”

“മാഷെ, എനിക്ക് ദേഷ്യം വരുന്നു, ഇതു വരെ ലോഗരിതം എന്താണെന്ന്, പറഞ്ഞില്ല.”

“അതല്ലേ, പറഞ്ഞു വരുന്നത്?. നീ ഇത്തിരി കൂടി ക്ഷമ കാണിക്കൂ, കല്യാണി ”

“അതായത്, നീ മൂന്നു പ്രാവശ്യം തുല്യമായി കോണോട്, കോണ് മടക്കിയപ്പോൾ എട്ട്, തുല്യമായ ത്രികോണകൾ (Triangles) ഉണ്ടായില്ലേ?”

“ഇനി പറയാൻ പോകുന്നത് ശ്രദ്ധിച്ചു കേൾക്കണം”

“നീ, മുകളിൽ പറഞ്ഞപോലെ, കുറെ പ്രാവശ്യം ഇതേപോലെ തുല്യമായി, തുല്യമായി മടക്കിക്കേ”.

“മാഷെ, കുറെ പ്രാവശ്യം, മടക്കി, ഞാൻ പക്ഷെ എത്ര പ്രാവശ്യം എന്ന് എന്നറിയില്ല, ഇനിയും ഇത് മടക്കാൻ പറ്റില്ല, അത്ര ചെറുതായി”.

“ഇനി അത്, നിവർത്തിയിട്ട്, ആകെ എത്ര തുല്യമായ ത്രികോണങ്ങൾ (Triangles) ഉണ്ട് എന്ന് നോക്കുക.”
” 1,2,3,4…………………………….127,128″

“മാഷെ, 128ചെറിയ Triangles കിട്ടി.”

“ഇപ്പോൾ നമുക്ക് അറിയില്ല, എത്ര പ്രാവശ്യം മടക്കി, എന്ന്. പക്ഷെ നമുക്ക് തുല്യമായ 128 ത്രികോണങ്ങൾ (Triangles) ഉണ്ട്. അല്ലെ?”

“ഇതിനെ നമുക്ക് Log (base 2) (128)= x എന്ന് എഴുതാം.”
“X കണ്ടു പിടിച്ചാൽ നമ്മൾ എത്ര പ്രാവശ്യം തുല്യമായി മടക്കി എന്ന് കാണാം.”

ലോഗരിതത്തെ ‘inverse of an exponential’ എന്ന് പറയാം. അതായത് രണ്ടിന്റെ എത്ര raised ആണ് 128 എന്ന് നോക്കാം?

2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2= 128, അതായത് exponential ഫോമിൽ എഴുതിയാൽ 2(raised 7) = 128.

അതായത്, നീ ഏഴു പ്രാവശ്യം, തുല്യമായി കോണോടു കോൺ പേപ്പർ മടക്കിയപ്പോൾ ആണ് 128 കിട്ടിയത്.

ഇതിനെ Log (base 2) (128)= 7 എന്ന് എഴുതാം. ഇപ്പോൾ മനസ്സിലായില്ലേ, , “logarithm of a function is the exponent to which another fixed number, the base, must be raised to produce that function”.

“ഇത്ര സിമ്പിൾ ആണ് എന്ന് അറിയില്ലായിരുന്നു”.

“മാഷെ, common logarithm പിന്നെ natural logarithm എന്നൊക്കെ പറഞ്ഞാൽ എന്താണ്?

“നമ്മൾ മുകളിൽ എടുത്ത ലോഗരിതത്തിന്റെ base 2 ആണല്ലോ?

ഇതുപോലെ base 10 ആയിട്ടു വരുന്ന ലോഗരിതമാണ് common logarithm.

സയൻസിലും, എഞ്ചിനീയറിംഗിലും ഒക്കെ ഇതാണ് പ്രയോഗിക്കുന്നത്. നിന്റെ ലോഗരിതം ടേബിളിലെ മൂല്യങ്ങൾ base 10 ആയി ആണ് രേഖപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത്.

Natural logarithm എന്നാൽ base ‘e’ ആണ്. ഇതിന്റെ മൂല്യം. 2.7182818285 ആണ്. ഇതിനെ Euler–Mascheroni constant എന്ന് പറയും.

“കെമിസ്ട്രി ടീച്ചർ pH നെ പറ്റി പഠിപ്പിച്ചപ്പോൾ പറഞ്ഞു pH= -log [H+] എന്ന്” എന്തിനാ മാഷെ pH ലോഗരിതമിക് സ്കെയിലിൽ എടുക്കുന്നത്, മാഷെ?

pH എന്നാൽ minus the logarithm of the ‘hydrogen ion’ concentration എന്നാണ്. അതായത് ‘power of hydrogen’ എന്ന് ലളിതമായി പറയാം.

ഇനി ലോഗരിതമായി പറയുന്നത്, express ചെയ്യാനുള്ള എളുപ്പത്തിൽ തന്നെ. ഉദാഹരണത്തിന്, ചെറുനാരങ്ങായിൽ ഉള്ള ആസിഡിന്റെ hydrogen ion concentration 0.01 moles per litre ആണ്. ഇത് -log [H+] ആക്കിക്കഴിയുമോൾ നമുക്ക്, 2 എന്ന മൂല്യം കിട്ടും. അതായത് ചെറുനാരങ്ങായിലെ pH 2 ആണ്.

ഇനി പച്ച വെള്ളത്തിലെ hydrogen ion concentration 0.000001 moles per litre ആണ്.

ഇത് -log [H+] അതായത് -log [0.000001] ആക്കിക്കഴിഞ്ഞാൽ pH ന്റെ മൂല്യം 7 ആണ്.

ഇനി ഒരു NaOH sodium hydroxide ന്റെ hydrogen ion concentration 0.0000000000001 ആണെങ്കിൽ അതിന്റെ pH 13 ആയിരിക്കുമല്ലോ?

നിങ്ങളുടെ ലാബിലെ NaOH sodium hydroxide ന്റെ hydrogen ion concentration എത്ര എന്ന് ചോദിച്ചാൽ, ഉത്തരം 0.0000000000001 എന്ന് പറയാൻ, നല്ല ബുദ്ധിമുട്ടാവില്ലേ? എന്നാൽ pH 13 എന്ന് പറഞ്ഞാൽ എത്ര എളുപ്പമാണ്, ഇല്ലേ?

ഇതു പോലെ നമ്മുടെ ജോലി എളുപ്പം ആക്കാനാണ്, പലപ്പോളും ലോഗരിതമിക് സ്കെയിലിൽ കണക്കുകൾ എടുക്കുന്നത്.

“അതായത് pH 2 ഉം, pH 3 തമ്മിൽ 10 times concentration വ്യത്യാസം ഉണ്ട് അല്ലെ?”

വളരെ ശരിയാണ്. pH 2 എന്നാൽ hydrogen ion concentration 0.01 moles per litre ആണെന്ന് മുകളിൽ കണ്ടല്ലോ? pH 3 എന്നാൽ hydrogen ion concentration 0.001 moles per litre ആണ്. അതായത് pH 2 ഉള്ള ലായനി pH 3 ഉള്ള ലയനി യേക്കാൾ 10 times concentration കൂടുതൽ ആയിരിക്കും എന്ന്.

“ഇതു പോലെയല്ലേ മാഷേ, ഭൂകമ്പം (earthquake), നിർണ്ണയിക്കുന്ന Richter scale?

ശരിയാണ്, നീ വായിച്ചിട്ടുണ്ടാവും Richter scale ൽ 6.0 വരെ വളരെ ചെറിയ അപകടങ്ങളെ ഉണ്ടാവൂ, എന്നാൽ 7 ആയാലോ, വൻ ദുരന്തമാണ്.

കാരണം, Richter scale point മാറിയാൽ അനേക മടങ്ങ് ആയിരിക്കും അതിന്റെ ശക്തി.

Richter scale എന്നാൽ M = Log (I / S) എന്നാണ്.

I എന്നാൽ ഭൂകമ്പത്തിന്റെ intensity ആണ് seismograph എന്ന ഉപകരണം കൊണ്ട് epicenter ന്റെ നൂറു കിലോമീറ്റർ അകലെ നിന്നും അളക്കുന്നത് ).

S എന്നാൽ സാധാരണ ”കുലുക്കം (movement that can barely be detected)”.

Richter scale ൽ 8.7 രേഖപ്പെടുത്തിയ ഭൂകമ്പം, 5.8 രേഖപ്പെടുത്തിയ ഭൂകമ്പത്തെ ക്കാൾ 794 times വലുതായിരിക്കും.

വേറെ ഇതേപോലത്തെ ഉദാഹരണം ഉണ്ടോ, മാഷേ?

ഉണ്ടല്ലോ ശബ്ദ തീവ്രത അളക്കുന്ന, ഡെസിബെൽ ലോഗരിതമിക് യൂണിറ്റിലാണ് “dB = 10log[ I /S ] കണക്ക് കൂട്ടുന്നത്, കൂടാതെ ദൈനം ദിന ജീവിതത്തിൽ ലോഗരിതം കൊണ്ട് ധാരാളം ഉപയോഗങ്ങൾ ഉണ്ട്.

റേഡിയോ ആക്ടിവിറ്റി ലോഗരിതമിക് സ്കെയിലിൽ ആണ്, ജനസംഖ്യ ഉയർച്ച, പലിശ നിരക്ക് എന്ന് വേണ്ട ഹിമപാതം ഉരുകാനുപയോഗിക്കുന്ന സമയം വരെ കണക്ക് കൂട്ടാൻ ലോഗരിതമിക് യൂണിറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.

“ആഹാ, പറഞ്ഞു പറഞ്ഞു വീടെത്തിയല്ലോ, മാഷെ ”

“പുതിയ ഒരു കഥയുമായി അടുത്ത ആഴ്ച കാണാം കല്യാണി”.