കാൽക്കുലസ് അഥവാ ‘കലനം’

ഡോ. സുരേഷ്.സി. പിള്ള

കണക്ക് നല്ല രസമുള്ള സബ്ജക്റ്റാണ്, ഒരിക്കലും പേടിക്കരുത്.
പേടി ഒന്നു മാറ്റിയാൽ കണക്കു പഠിത്തം രാസമാക്കാം. അപ്പോൾ കാൽക്കുലസ് ഒന്ന് വായിച്ചു നോക്കൂ. തോമസ് മാഷിന്റെയും കല്യാണിയുടെയും കൂടെ ഒരു യാത്ര.

അദ്ധ്യായം 7: ടീച്ചർ പറയാൻ മറന്നതും; കുട്ടി ചോദിക്കാൻ ഭയന്നതും

“മാഷെ, ഇത്രയും കാലം പഠിച്ച മാത്സ് ക്ലാസ്സുകളിൽ ഒരു തരത്തിലും ദഹിക്കാത്ത ഭാഗമാണ് calculus.”

“ടീച്ചർ പറഞ്ഞു തന്ന equations ഒക്കെ കാണാതെ പഠിച്ചു, പ്രോബ്ലം ഒക്കെ ചെയ്യാൻ പറ്റുന്നുണ്ട്…..”

“…… പക്ഷെ ഇതൊക്കെ എന്താണ് എന്നൊരു പിടുത്തവുമില്ല.”

“കല്യാണീ, ശരിയായ രീതിയിൽ പഠിച്ചാൽ ഏറ്റവും രസരമായ പാഠ്യഭാഗമാണ് calculus.”

“നിത്യജീവിതത്തിൽ ഏറ്റവും കൂടുതൽ പ്രയോജനപ്പെടുന്ന ശാസ്ത്ര ശാഖയാണ് calculus അഥവാ മലയാളത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ ‘കലനം”

“പുളു പറയല്ലേ, മാഷെ, കാൽക്കുലസിനു നിത്യ ജീവിതത്തിൽ അപ്ലിക്കേഷൻ ഉണ്ടെന്നൊന്നും പറഞ്ഞ് എന്നെ പറ്റിക്കാൻ നോക്കേണ്ട.”

“എന്നാൽ കേട്ടുകൊള്ളൂ, എക്കണോമിസ്റ്റുകളും, എഞ്ചിനീയർമാരും, ശാസ്ത്രഞ്ജൻമാരും ഒക്കെ ഒരു പക്ഷെ ഏറ്റവും കൂടുതൽ ആശ്രയിക്കുന്ന ശാസ്ത്ര ശാഖയാണ് കാൽക്കുലസ്.”

“ക്രെഡിറ്റ് കാർഡിന്റെ എപ്പോളും മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന ‘multiple variables’ ആയ interest rates ഉം മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന available balance ഉം എല്ലാം കൂട്ടി നമ്മൾ പൈസ അടയ്ക്കാമെന്ന് സമ്മതിച്ചിരിക്കുന്ന ഡേറ്റിലുള്ള minimum payment തീരുമാനിക്കുന്നത് കാൽക്കുലസ് ഉപയോഗിച്ചുള്ള കണക്കു കൂട്ടലുകൾ കൊണ്ടാണ്. കൂടാതെ സ്പേസ് അപ്ലിക്കേഷൻസ്, ക്രിക്കറ്റ്, ഫുട്ബോൾ, സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ്, കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാമിങ്, electrical എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ബയോളജി, മെഡിസിൻ, ഇലക്ട്രോണിക്സ് തുടങ്ങി ജീവിതത്തിന്റെ എല്ലാ തുറകളിലും കാൽക്കുലസ് ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട്.”

“കാൽക്കുലസ് ഒറ്റ വക്കിൽ എങ്ങിനെ പറയാം മാഷേ?”

“മൂല്യം തുടരെ മാറുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു പഠനമേഖല എന്ന് ഒറ്റ വക്കിൽ പറയാം. അതായത് “the mathematics of change.” ചുരുക്കിപ്പറഞ്ഞാൽ ഇത് algebra (ബീജഗണിതം) യുടെയും geometry (ജ്യാമിതി) യുടെയും വളരെ വികസിതമായ ഒരു ശാസ്ത്ര ശാഖ.”

ഒന്നു കൂടി വിശദമാക്കാമോ മാഷെ?

കല്യാണീ, അതായത്, Algebra (ബീജഗണിതം) കൊണ്ടും Geometry (ജ്യാമിതി) കൊണ്ടും പൂർണ്ണമായും വ്യക്തമാക്കാൻ പറ്റാത്ത complex ആയ പ്രോബ്ലം കാൽക്കുലസ് വച്ച് എളുപ്പത്തിൽ ചെയ്യാൻ പറ്റും. ISRO യുടെ മംഗൾയാൻ ചൊവ്വയിൽ എത്താനുള്ള വഴി കാണാൻ കാൽക്കുലസ് ന്റെ സഹായം കൂടിയേ തീരൂ. അതായത് elliptical orbits (അണ്ഡാകൃതിയായ ഭ്രമണപഥം) ങ്ങളിൽ കൂടി യാത്ര ചെയ്യുന്ന ഭൂമിയും ചൊവ്വയും, ഇവയുടെ മാറിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്ന (constantly changing) സ്ഥാനം, ഇവ കൂടാതെ യാത്രാ പഥത്തിൽ ഉള്ള ഭൂമിയുടെയും, ചന്ദ്രന്റെയും ചൊവ്വയുടെയും ‘constantly changing’ ആയ ഗുരുത്വ ആകർഷണ ബലങ്ങൾ (gravitational pulls). ഇവയെല്ലാം കണക്കിലെടുത്താലേ കൃത്യമായ വഴി കണ്ടെത്താൻ പറ്റുള്ളൂ.

ഒരു ഉദാഹരണം പറയാമോ മാഷേ?

“മല മുകളിലേക്ക് ഒരു വലിയ കരിങ്കല്ലുരുട്ടിക്കയറ്റി അതിനെ താഴോട്ടു തള്ളിയിട്ട് കൈകൊട്ടിച്ചിരിക്കുന്ന നാറാണത്തുഭ്രാന്തനെ ചിത്രകഥകളിലൊക്ക കഥ വായിച്ചിട്ടില്ലേ?

“ഗ്രീക്ക് പുരാണങ്ങളിലും ഇതേ പോലെ ഒരു ‘സിസിഫസ്‘ എന്ന ദേവന്റെ ഒരു കഥയുണ്ട്. സിസിഫസ് ദേവനും ആയുഷ്കാലം മുഴുവൻ മലമുകളിലേക്ക് കല്ലുരുട്ടിക്കയറ്റുന്നതും തള്ളി താഴേക്കിടുന്ന സ്വഭാവക്കാരനായിരുന്നു.”

“ഇവർ കല്ല് ഉരുട്ടിക്കയറ്റുന്ന മല ഒരു straight incline (നേരെയുള്ള ചരിവ്) ആയി സങ്കല്പിച്ചാൽ, അവർ മുകളിലേക്ക് കല്ല് തള്ളിക്കയറ്റാനായി ഉള്ള ബലം (force) കണക്കു കൂട്ടാൻ സാധാരണ ഫിസിക്സ് (മാത്സ്) പ്രയോഗിച്ചാൽ മതി.”

“അതായത് straight incline ആയതുകൊണ്ട് സ്ഥിരമായ (unchanging) ആയ ബലം (force) ഉപയോഗിച്ച് ചരിവിൽക്കൂടി ഒരു സ്ഥിരമായ (unchanging) സ്പീഡിൽ കല്ല് മുകളിൽ എത്തിക്കാൻ പറ്റും അല്ലെ മാഷേ?.
“ശരിയാണ് കല്യാണീ, ഓരോ സെക്കണ്ടിലും പ്രയോഗിച്ച ഊർജ്ജം (theoretically) ഒരേപോലെ ആയിരിക്കും.”

“എന്നാൽ നീ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടാവുമല്ലോ, സാധാരണ പ്രകൃതി ദത്തമായ മലകൾ straight incline (നേരെയുള്ള ചരിവ്) ഉള്ളതല്ല എന്നുള്ളത്. ചരിവ് എല്ലായിടത്തും ഒരു പോലെയല്ല. അതായത് കല്ല് തള്ളാനായി ഓരോ സെക്കണ്ടിലും പ്രയോഗിച്ച ബലം (force) ഒരേപോലെ ആയിരിക്കില്ല.”

രസമുണ്ടല്ലോ മാഷെ? അപ്പോൾ എങ്ങിനെയായാണ് നാറാണത്തുഭ്രാന്തൻ കല്ല് തള്ളിക്കയറ്റാനായി പ്രയോഗിച്ച ബലം (force) കണക്കു കൂട്ടുന്നത്?

“കല്യാണീ, ഇവിടെയാണ് നമുക്ക് കാൽക്കുലസിന്റെ സഹായം വേണ്ടി വരുന്നത്. അതായത് സാധാരണ മലകൾ (mountains) ക്കു steepness of the incline (ചരിവിന്റെ ദുരാരോഹം (അല്ലെങ്കിൽ മേലോട്ടുയരല്)) വ്യത്യാസം ആണ് എന്ന് ശ്രദ്ധിച്ചു കാണുമല്ലോ, അഥായത് നാറാണത്തുഭ്രാന്തനും ‘സിസിഫസും’ ഒക്കെ കല്ല് മുകളിലേക്ക് ഉരുട്ടാനുള്ള ബലം (force) ഓരോ സ്ഥലത്തും ഓരോന്നായിരിക്കും.”

“അതായത് ചരിവ് കൂടുതൽ steeper (ഉയർച്ച) ആണെങ്കിൽ കൂടുതൽ ബലം കൊടുക്കണം അല്ലെ മാഷെ?”

“വളരെ ശരിയാണ് കല്യാണീ, അതായത് ചിലവാക്കുന്ന ഊർജ്ജം (energy) ഓരോ സ്ഥലത്തും, ഓരോ സമയത്തും വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കും.”

“ആദ്യം പറഞ്ഞല്ലോ കാൽക്കുലസ് എന്നാൽ “the mathematics of change.” എന്ന്.”

“മുകളിൽ നമുക്ക് ഒറ്റയടിക്ക് ഉത്തരം കിട്ടും കാരണം, മലയെ നമ്മൾ ഒരു straight incline ആയി ആണ് സങ്കൽപ്പിച്ചത്.”

“ഇവിടെ നമ്മൾ മലയെ ഓരോ ചെറിയ ചെറിയ ഭാഗങ്ങൾ ആയി മുറിക്കും. ആ ഓരോ ചെറിയ മുറികളും നമുക്ക് straight incline ആയി സാങ്കൽപ്പിക്കാം, കാരണം അതിന്റെ curving അപ്പോൾ negligible (അവഗണിക്കാവുന്നത്) ആകും. ഇനി ഇതിനെയെല്ലാം കൂടി പ്രത്യേകം, പ്രത്യേകം കണ്ടു പിടിച്ചിട്ട് കൂട്ടിയാൽ മതി. ഇതാണ് കാൽക്കുലസിന് താരാവുന്ന വളരെ ലളിതമായ ഒരു ഉദാഹരണം.”

അപ്പോൾ മാഷേ, ഈ dx ഉം dy ഒക്കെ എന്താണ്?

“d എന്നു പറഞ്ഞാൽ “little bit of (ഇത്തിരി/ഇച്ചിരി/വളരെ കുറച്ച്)” എന്നാണ്. അതായത് dx എന്നാൽ ഇത്തിരി x എന്നും dy എന്നാൽ ഇത്തിരി y എന്നും.
“അതായത് മാഷെ, നമ്മുടെ സൂരാജ് വെഞ്ഞാറമ്മൂടിന്റെ ഭാഷയിൽ പറഞ്ഞാൽ ‘dx എന്നാൽ ‘ഇത്തിരിപ്പൂലം’ x’?.

“ശരിയാണ് കല്യാണീ…..ഉദാഹരണത്തിന് ഒരു വലിയ മുറിയിൽ നിറച്ചും പഞ്ചസാര (x കിലോ) കൂട്ടി ഇട്ടിരിക്കുക ആണെന്ന് കരുതുക. അതിൽ നിന്നും ഒരു തരി പഞ്ചസാര എടുത്താൽ അതാണ് dx.”

അപ്പോൾ മാഷേ, കാൽക്കുലസ് പ്രധാനമായും എത്ര തരം ഉണ്ട്?

“പ്രധാനമായും രണ്ടു തരം; Differential calculus (വിവേചന കലനം) ഉം Integral calculus (സമഗ്ര കലനം) ഉം.”

“മാഷേ, അപ്പോൾ Differential calculus ഉം Integral calculus ഉം തമ്മിലുള്ള ബന്ധം വളരെ ലളിതമായി പറയാമോ?”

“നാറാണത്തു ഭ്രാന്തന്റെ മലയിലേക്ക് നമുക്ക് തിരികെപ്പോകാം. ഈ മലയുടെ Slope (ചരിവ്) കാണാൻ, സാധാരണ നേർരേഖയുടെ Slope ഫോർമുല (Slope= Rise/Run) ഉപയോഗിക്കാൻ പറ്റില്ലല്ലോ? അപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു വളരെ ചെറിയ ഭാഗം എടുത്ത് അത് നേർരേഖ ആണെന്ന് സങ്കല്പിക്കാം. (ഉദാഹരണത്തിന് ഭൂമി ഉരുണ്ടതാണ് എന്ന് നമുക്കറിയാം. പക്ഷെ ഒരു ചെറിയ ഭാഗം എടുത്താൽ ഉദാഹരണത്തിന് ആലപ്പുഴ നിന്നും കൊച്ചിയിലേക്കുള്ള വഴി ഒരു നേർ രേഖ ആയി കാണാൻ പറ്റില്ലേ? അതുപോലെ, ഇതിനെ നമുക്ക് locally straight അല്ലെങ്കിൽ straight at the microscopic level എന്ന് പറയാം.), എന്നിട്ട് ആ ഭാഗത്തിന്റെ slope കാണാം. ഇങ്ങിനെ വലിയ ഒരു സാധനത്തിനെ ചെറുത്, ചെറുതാക്കി പ്രോബ്ലം solve ചെയ്യുന്നത് ആണ് Differential calculus.”

“ഇനി Integral calculus എന്താണെന്ന് നോക്കാം. ഇത് ആ പേരിൽ തന്നെ ഉണ്ട്. integrate ചെയ്യുക എന്നാൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കുക. അതായത് integration എന്നാൽ differentiation ന്റെ നേരെ എതിർ പ്രോസ്സസ് ആണ് (അതായത് differentiation and integration are inverse operations). അതായത് f(x) എന്ന ഒരു function നെ നമ്മൾ differentiate ചെയ്യാനായി (df/dx) ആയി മാറ്റി എന്ന് കരുതുക. ഇതിന്റെ നേരെ എതിർ പ്രയോഗം, അതായത് f(x) കിട്ടാനുള്ള മാർഗ്ഗം ആണ് integration.”

“Integral calculus ൽ ‘തോട്ടിപോലുള്ള നീണ്ട S’ കാണാമല്ലോ കാൽക്കുലസ് ന്റെ ബുക്ക് മുഴുവനും, ഇതെന്താണ്?”

“ഇതിനെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ ‘the sum of’ എന്നാണ് അർത്ഥം. അതായത് ഈ സിംബൽ ഇട്ടിട്ട് dx ഇട്ടാൽ. dx കളുടെ എല്ലാം ആകെത്തുക എന്നർത്ഥം.”
“അപ്പോൾ കാൽക്കുലസ് ഇത്രയ്ക്ക് സിമ്പിൾ ആണോ? മാഷേ.”

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഇതിന്റെ ഒരു വളരെ ചെറിയതും വളരെ വളരെ അടിസ്ഥാനപരവും ആയ കാര്യങ്ങളെ പറഞ്ഞിട്ടുള്ളൂ.

പക്ഷെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് ഇത്രയും എങ്കിലും അറിഞ്ഞിട്ട് കാൽക്കുലസ് പുസ്തകങ്ങൾ വായിച്ചാൽ കാര്യങ്ങൾ കൂടുതൽ ഗ്രഹിക്കാൻ പറ്റും.

“അപ്പോൾ കാൽക്കുലസ് ഒട്ടും പേടിക്കാനുള്ള ശാസ്ത്ര ശാഖ അല്ല, ഇല്ലേ മാഷേ?

“അല്ലേയല്ല, നന്നായി മനസ്സിലാക്കി പഠിക്കാൻ തുടങ്ങിയാൽ വളരെ രസകരമായതും, ദൈനം ദിന ജീവിതത്തിൽ ധാരാളം ഉപയോഗമുള്ളതുമായ ശാസ്ത്ര ശാഖ കളിൽ ഒന്നാണ് Calculus. അതു കൊണ്ട് Calculus പേടിക്കാതെ രസകരമായി പഠിച്ചു കൊള്ളൂ.”